Расчёт стержневых конструкций Рациональное очертание оси арки Определение перемещений в упругих системах Правило П. Верещагина Основная система метода сил Определение моментных фокусных отношений

Курс лекций по строительной механике

Основными методами решения задач устойчивости являются: 1. Статический метод. Основан на применении уравнений равновесия к системе, находящейся в деформированном состоянии. Исследуемой системе придают предполагаемую новую форму равновесия и находят величины нагрузок, способных удовлетворить условиям равновесия этой новой формы, т.е. удержать систему в новом состоянии. 2. Энергетический метод. Основан на изучении полной энергии системы, которая в состоянии устойчивого равновесия минимальна. При отклонении устойчивой системы от состояния равновесия полная энергия возрастает. Критическая нагрузка находится как минимальная нагрузка, при которой можно отклонить систему от положения равновесия, не увеличивая при этом полную энергию.

Определение изгибающих моментов и поперечных сил в опорных сечениях

Полученные выражения можно использовать для определения усилий в приопорных сечениях стержня при единичных смещениях этих сечений. Для стержня (рис. 10.3), защемлённого с обеих сторон, при повороте левой заделки на угол   = 1 имеют место следующие краевые условия - при x = 0 прогиб y = 0 и угол поворота= 1, а при x =  прогиб опоры В  = 0 и угол поворота = 0.

 


Подставляя эти условия в (10.9) и (10.10), получаем

 . (10.11) 

 . (10.12) 

Используя найденные значения начальных параметров (10.11) и (10.12), находим значение изгибающего момента при x =

  . (10.13) 

Изгибающие моменты и поперечные силы, возникающие в опорных сечениях при других перемещениях опорных закреплений, приведены в прил. 3.

Расчёт статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений

Как и любой расчёт, расчёт статически неопределимых систем на устойчивость начинается с принятия ряда допущений, позволяющих с достаточной точностью при выполнении инженерных расчётов определить величину критической силы, при которой происходит потеря устойчивости. Определение потери устойчивости рам выполняют в случаях, когда в стержнях до потери устойчивости возникают только продольные силы. Это возможно, когда рама нагружена только узловой нагрузкой. Если рама загружена силами, приложенными вне узлов, то такая нагрузка заменяется узловой нагрузкой.

В этом случае критические силы определяются приближённо и находятся лишь наибольшие значения продольных сил. Для расчёта рам на устойчивость применяют метод сил и метод перемещений.

Рассмотрим особенности расчёта статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений. Как и при обычном расчёте, сначала определяют по известной формуле n = ny + nл степень кинематической неопределимости. Затем в соответствии с заданной системой выбирают основную систему. Для этого во все жёсткие узлы вводят условные заделки, а в направлении возможных линейных подвижек элементов заданной системы ставят условные простые кинематические связи. Далее записывают систему канонических уравнений, которая имеет вид

  (10.14)

Отличительная особенность системы уравнений (10.14), во-первых, отсутствие свободных членов. Это связано с тем, что вся внешняя нагрузка при расчёте на устойчивость сведена к узлам. Поэтому в основной системе метода перемещений отсутствует грузовая эпюра моментов . Во-вторых, коэффициенты при неизвестных, представляющие собой реактивные усилия в условных связях и заделках от единичных перемещений этих связей и заделок (см. прил. 3), учитывают появление дополнительных моментов на сжатых элементах основной системы. 

Система уравнений (10.14) является однородной. Поэтому ненулевое решение её возможно лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю. Поскольку в данном расчёте нет необходимости находить значения перемещений Z, а необходимо найти параметр , в котором присутствует искомая критическая сила и который содержится в коэффициентах rij, то формирование указанного определителя представляет одну из задач данного расчёта. Такой определитель, называемый уравнением устойчивости метода перемещений, представлен выражением

.  (10.15) 

В результате раскрытия определителя (10.15) получается алгебраическое трансцендентное уравнение относительно неизвестных функций, зависящих от искомого параметра . Эти функции представлены следующими выражениями:

;

Полученное алгебраическое уравнение решают методом подбора, задаваясь значением параметра . По заданному начальному значению  по прил. 4 или по приведённым только что формулам находят значения функций, входящих в решаемое алгебраическое уравнение. Удобно строить график, по оси ординат которого откладывают результат решения этого уравнения, а по оси абсцисс – величину того значения , при котором получен этот результат. Искомым является то значение параметра , при котором решаемое алгебраическое уравнение оказывается равным нулю. Тогда при найденном значении  из выражения находят величину критической силы.

Если на рассматриваемую статически неопределимую систему действуют несколько сжимающих сил, необходимо знать величины соотношений между ними. Исходя из таких соотношений находят параметры уравнения устойчивости и проводят его решение точно так же, как и при действии на систему только одной сжимающей силы.

Метод сил. Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями.
Метод перемещений в строительной механике