Расчёт стержневых конструкций Рациональное очертание оси арки Определение перемещений в упругих системах Правило П. Верещагина Основная система метода сил Определение моментных фокусных отношений

Курс лекций по строительной механике

Основными методами решения задач устойчивости являются: 1. Статический метод. Основан на применении уравнений равновесия к системе, находящейся в деформированном состоянии. Исследуемой системе придают предполагаемую новую форму равновесия и находят величины нагрузок, способных удовлетворить условиям равновесия этой новой формы, т.е. удержать систему в новом состоянии. 2. Энергетический метод. Основан на изучении полной энергии системы, которая в состоянии устойчивого равновесия минимальна. При отклонении устойчивой системы от состояния равновесия полная энергия возрастает. Критическая нагрузка находится как минимальная нагрузка, при которой можно отклонить систему от положения равновесия, не увеличивая при этом полную энергию.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим балку (рис. 9.6) с массой m. К массе приложена F(t) – возмущающая сила, создающая вынужденные колебания и изменяющаяся по гармоническому закону t. Частота возмущающей силы обозначена символом , а амплитудное значение возмущающей силы – F0.

 

Рис. 9.6

 
 


Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклонённом положении на массу действуют силы: F(t) – возмущающая сила; J(t) – сила инерции.   частота возмущающей силы; амплитуда силы F(t).

Силами сопротивления, которые возникают при колебаниях, пренебрегаем. Перемещение массы в любой момент времени через единичное перемещение определяем по выражению 

.  (9.13) 

Подставим в (9.13) вместо инерционной силы J(t) выражение, представленное формулой (9.1)

. (9.14)

После раскрытия скобок в уравнении (9.14) и деления всех слагаемых на произведение массы и единичного перемещения получаем

 .  (9.15) 

Обозначим в (9.15) w =  - собственная частота колебаний. Уравнение (9.15) принимает вид

 .  (9.16) 

Как известно, полное решение дифференциального уравнения (9.16) представляют в виде . Общее у0 решение представляет собой решение однородного дифференциального уравнения. Частное у2 решение уравнения (9.16) ищем в виде ;  С учётом изложенного уравнение (9.16) примет следующий вид:

  (9.17)

Из уравнения (9.17) следует, что постоянная интегрирования С может быть найдена из выражения

 . (9.18)

С учетом  постоянная интегрирования С получается равной

.  (9.19) 

В (9.19) yст = F0δ11. Замечаем, что амплитуда вынужденных колебаний от силы, изменяющейся по гармоническому закону, больше, чем прогиб от силы, приложенной статически. Обозначим  - динамический коэффициент. График изменения динамического коэффициента μ в зависимости от отношения  показан на рис. 9.7.

 


При   = 1 коэффициент μ равен ∞, что означает бесконечно большие прогибы в конструкции, а это равносильно ее разрушению. Явление, при котором частота собственных колебаний ω совпадает с частотой возмущающей силы , называется резонансом. Резонанс опасен для конструкций, поэтому надо стремиться к тому, чтобы частоты ω и  не совпадали.

Полное решение дифференциального уравнения (9.16) для вынужденных колебаний имеет вид

  . (9.20) 

Анализируя выражение (9.20), отмечаем, что первые два слагаемые описывают собственные колебания и быстро затухают. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания, которые остаются и имеют ту же частоту,  что и возмущающая сила F(t).

Метод сил. Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями.
Метод перемещений в строительной механике