Расчёт стержневых конструкций Рациональное очертание оси арки Определение перемещений в упругих системах Правило П. Верещагина Основная система метода сил Определение моментных фокусных отношений

Курс лекций по строительной механике

Основными методами решения задач устойчивости являются: 1. Статический метод. Основан на применении уравнений равновесия к системе, находящейся в деформированном состоянии. Исследуемой системе придают предполагаемую новую форму равновесия и находят величины нагрузок, способных удовлетворить условиям равновесия этой новой формы, т.е. удержать систему в новом состоянии. 2. Энергетический метод. Основан на изучении полной энергии системы, которая в состоянии устойчивого равновесия минимальна. При отклонении устойчивой системы от состояния равновесия полная энергия возрастает. Критическая нагрузка находится как минимальная нагрузка, при которой можно отклонить систему от положения равновесия, не увеличивая при этом полную энергию.

Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды

Рассмотрим невесомую балку, весом которой по сравнению с массой m пренебрегаем (рис. 9.4).

Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклонённом положении на массу m действует сила инерции J, равная, как известно из курса физики, произведению массы на ускорение.

  . (9.1)

 

 

Перемещение массы определяем через единичное перемещение в соответствии с выражением

 . (9.2)

Перемещение  в (9.2) представляет собой перемещение, найденное от действия силы F=1, приложенной в точке прикрепления массы m. 

С учетом (9.1) выражение (9.2) принимает вид

 . (9.3)

Перенося все слагаемые в левую часть уравнения (9.3), получим дифференциальное однородное уравнение, описывающее собственные колебания системы с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды:

 . (9.4)

Для приведения этого уравнения к стандартному виду разделим все слагаемые в (9.4) на произведение .

 . (9.5)

Обозначим в (9.5) . Тогда дифференциальное уравнение (9.5) принимает стандартный вид 

 . (9.6) 

Получили уравнение, описывающее собственные колебания системы с одной степенью свободы. Параметр собственная частота колебаний.

В математике получено решение уравнения (9.6), которое имеет следующий вид:

,  (9.7)

где  постоянные интегрирования.

Для определения  используем начальные условия, имеющие место в момент времени t=0. При t=0 начальный прогиб , начальная скорость . Подставим в (9.7) t=0.

.  (9.8)

Из (9.8) находим, что . Для определения постоянного интегрирования А1 необходимо взять первую производную по времени от выражения (9.7), т.е. найти выражение, по которому в процессе колебания изменяется скорость перемещения колеблющейся массы.

. (9.9)

Подставляя в (9.9) t=0, получим

.  (9.10)

Из (9.10) найдём, что . С учётом найденных значений постоянных интегрирования решение дифференциального уравнения (9.7) принимает окончательный вид

.  (9.11)

Получили закон перемещения массы. Предположим, что колеблющаяся масса m находится в покое и мы её вывели из равновесия, придав ей начальную скорость . Тогда . Если в начальный момент времени балка уже была изогнута (см. рис. 9.4) и она стала совершать колебания, то начальная скорость колебаний при этом . Тогда уравнение колебаний примет вид . Оба эти закона одинаковы по своему характеру, только смещены по фазе. Для анализа колебаний примем закон   и построим его график (рис. 9.5) согласно данным, приведённым в табл. 9.1.

  Таблица 9.1

t

0

0

 


Из анализа графика (см. рис. 9.5) очевидно, что все циклы колебаний одинаковые. Наибольшее отклонение массы от положения статического равновесия равно постоянной величине, которая носит название амплитуды колебаний . Удвоенная величина амплитуды колебаний составляет размах колеблющейся точки. Время Т, за которое балка совершает полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из анализа графика (см. рис. 9.5) можно записать, что . Число полных циклов колебаний в единицу времени называется частотой колебаний; если взять за единицу времени 2p с, то частота собственных (свободных) колебаний  с-1. Учитывая, что , частота собственных колебаний может быть определена из выражения

 . (9.12)

Метод сил. Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями.
Метод перемещений в строительной механике