Расчёт стержневых конструкций Рациональное очертание оси арки Определение перемещений в упругих системах Правило П. Верещагина Основная система метода сил Определение моментных фокусных отношений

Курс лекций по строительной механике

Термин «теория сооружений» не рекомендуется, так как стро­ительная механика не дает полной теории сооружений, а ограни­чивается решением определенного круга проблем. В строительной механике, как известно, реальные сооружения при расчете заменяются их расчетными схемами как механически­ми системами; поэтому в данном сборнике термины «сооружение», •«расчетная схема» и «система» трактуются как тождественные. В соответствии с общими требованиями, предъявляемыми к терминологии, определения, поясняющие содержание термина, должны отвечать современному уровню науки и удовлетворять требованиям ясности, точности, общности и сжатости, сохраняя при этом взаимную связь.

Узловая передача нагрузки

В конструкциях транспортных сооружений внешняя, в частности подвижная, нагрузка на несущие элементы передаётся через вспомогательные элементы. Имеет место так называемая узловая передача нагрузки. В этом случае обобщение закона о линиях влияния требует, чтобы последние в характере своего изменения удовлетворяли, с одной стороны, основному свойству линии влияния, по которому (рис. 2.21) усилие определяют по формуле ; с другой стороны, чтобы эта величина удовлетворяла условию передаточного действия нагрузки, по которому .

По правилу рычага нагрузку F раскладывают на нагрузки Fn и Fn+1, являющиеся узловыми нагрузками

 

  (2.18)

 Отсюда следует, что при узловой передаче нагрузки линия влияния изменяется между узлами по закону прямой линии. На рис. 2.22 показаны примеры построения линий влияния при узловой передаче нагрузки.

 


Определение усилий в матричной форме

При решении многих задач строительной механики удобным оказывается использование матричного аппарата линейной алгебры.

На основании принципа суперпозиций запишем аналитические выражения для определения любых внутренних усилий S в различных сечениях стержня, подверженного действию системы сосредоточенных сил.

  (2.19)

В выражении (2.19)  - усилие в -м сечении от действия силы . В матричной форме эта система уравнений может быть записана в виде

 . (2.20)

В выражении (2.20) вектор искомых усилий ; Т - транспонированный вектор внешних нагрузок.

  - матрица влияния усилия. (2.21)

Из выражения (2.21) видно, что элементами матрицы влияния являются ординаты линий влияния того усилия, матрица влияния которого строится.

При определении усилий в матричной форме любая задача решается шире, чем это имеет место при определении усилия с помощью линии влияния. В этом случае охватывается сразу несколько сечений рассматриваемой конструкции. Размер матрицы влияния Ls зависит от числа участков, на которые разбивают рассчитываемую конструкцию.

Рассмотрим, например, построение матрицы влияния Lm моментов. Для этого возьмём двухопорную шарнирно опёртую с обеих сторон балку (рис. 2.23), разделённую на пять (n) равных по длине участков. Длина каждого участка d=. Если в точках 1,2,3,4 приложены какие-то сосредоточенные силы F, то изгибающий момент М в каждом из этих сечений определится в соответствии с (2.19) из выражений (2.21):

  (2.22)

В матричной форме выражения (2.22) примут вид , где - вектор-столбец искомых моментов;  - вектор-столбец внешних нагрузок.

 .

 


Из анализа рис. 2.23 и выражений (2.22) ясно, что элементами матрицы влияния Lm являются ординаты линий влияния моментов М для каждого сечения соответственно. Для данного примера эта матрица примет следующий вид:

  - матрица влияния моментов.

 . (2.23)

Из анализа структуры матрицы влияния Lm наблюдается закономерность в определении элементов матрицы влияния моментов, что позволяет вычислить любой элемент матрицы по формулам: при i j

mij=(d/n)(n- j); при i j mij=(d/h)(n-i).

  Рассмотрим пример построения эпюры М для балки (рис. 2.24), нагруженной системой сосредоточенных сил F. Пролёт балки =10 м разделён на пять частей, т.е. n=5. Тогда длина одной части составит . F1 = 5 кН; F2 = 15 кН; F3 = 5 кН.

Построение эпюры М будем осуществлять в соответствии с выражением (2.19), которое в матричной форме имеет вид

. (2.24)

При этом вектор-столбец искомых моментов , вектор-столбец  и матрица влияния моментов Lm приобретают следующий вид:

 ; .

Подставляя полученные матрицы в выражение (2.24) и совершая операцию перемножения матриц, получаем вектор-столбец искомых усилий - изгибающих моментов М.

 


.

По полученному вектору искомых изгибающих моментов построена эпюра М (см. рис. 2.24).

Матрицы влияния моментов для балок-консолей имеют следующий вид:

  Защемление балки слева - .

 Защемление балки справа - .

Вместе с тем данное определение не является точным, так как оно связано с понятием сооружение, которое не имеет точного определения. Очевидно, что здания с их фундаментами, стропиль­ные и мостовые фермы, опоры линий электропередач, телевизион­ные и радиомачты, антенные устройства, резервуары для жидко­стей, обделки тоннелей, арочные плотины и т. д. являются соору­жениями. Менее ясно, можно ли относить к сооружениям корпуса самолетов, ракет, судов, подводных лодок, каркасы железнодо­рожных вагонов, кузова автобусов и т. д. Однако в литературе последних десятилетий фигурируют такие термины, как строитель­ная механика самолета, строительная механика корабля и даже строительная механика машин. Рекомендуемое в данном сборнике определение оставляет вопрос о такой экстраполяции открытым.
Метод перемещений в строительной механике