Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Замена переменных в двойных интегралах Практикум по теме «Тройной интеграл»

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Системы линейных однородных уравнений. Критерий существования нетривиальных решений. Свойства решений систем линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

Практикум по теме «Криволинейный интеграл»

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f(xi, yi) si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 1 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

1) Кривая L задана параметрически : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде

*s == и при n

*sds =dt

J =f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 2 )

2) Кривая L задана явным уравнением :  y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

J = f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 3 )

Замена в f(x,y) переменной  у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги : S =  dx 

 

 Пример 1. Определить длину дуги кривой  y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.

Решение. 

 Точки пересечения линий: (-,0), (,0)

y = x2/2 – 1 , y` = x , = , -  x 

S =   dx = dx =  + ln ()

Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. ( 4 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4

xc =   = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc =  = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Задачи для самостоятельного решения

Определить длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x = /3  до x = 2/3 ;

2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi  f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi  f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi  f(x,y,z) dz

Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода

J =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  Pdx + Qdy + Rdz ( 5 )

Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования. 

Скалярное произведение векторов. Критерий ортогональности векторов. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Векторное произведение векторов. Вычисление векторного произведения векторов че-рез их координаты. Геометрический смысл векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Вычисление смешанного произведения векторов через их координаты. Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компла-нарности трёх векторов.
Математический анализ вычисление интеграла