http://www.infodez.ru/
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Замена переменных в двойных интегралах Практикум по теме «Тройной интеграл»

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Системы линейных однородных уравнений. Критерий существования нетривиальных решений. Свойства решений систем линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

Практикум по теме «Тройной интеграл»

 Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Опр.  Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области DVi с постоянной плотностью f ()

m = lim f () DVi º = ( 1 ) 

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат.

Прямоугольные координаты  - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

J = f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz (2)

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу  образует правильную область D, например, a  x  b , y1(x)  y  y2(x) , тогда

J =f(x,y,z)dx dy dz =dxdyf(x,y,z) dz = 

 = dxdyf(x,y,z) dz ( 3 )

При f(x,y,z) = 1 интеграл определяет объем бруса.

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

z = 0, z = x2 + y2, y = x, y + x = 2, y = 0

Решение.

z = 0 (степень 1, нет y, z )  плоскость координатная xOy (низ)

z = x2 + y2 (степени 1, 2)  параболоид вращения (верх)

y = x (степень 1, нет z)  плоскость через Oz (стенка)

y + x = 2 (степень 1, нет z)  плоскость || Oz (стенка)

 y = 0 (степень 1, нет  x, z )  плоскость координатная xOz (стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = x2 + y2 

 D: y = x , y + x = 2 , y = 0 

 Точки пересечения линий

(1;1),(2;0),(0;0)

 Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y 1,

а движение по коридору от y = x до y + x = 2. D: 0 y 1, y x 2 – y

V = ,  J2 = = [y2x + x3/3] |y2 – y =

= 1/3 [ -7y3 + 12y2 – 12y + 8 ], V = 1/3[-7y3 + 12y2 – 12y + 8] dy =

= 1/3 [-7y4/4 + 12y3/3 – 12y2/2 + 8y] |01 = 17/12 куб. ед.

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

 z = 10x, z = 0, x2 + y2 = 4, y =, y = 0

Решение.

z = 0(степени1,нет y,x)плоскость координатная xOy (низ)

z = 10x (степени 1, нет у ) плоскость через Оу (верх)

x2 + y2 = 4 (степени 2, нет z ) круговой цилиндр || Oz (стенка)

y =  или у2 = 3х (степени 1, 2, нет z)параболический цилиндр || Oz (стенка)

у = 0 (степени 1, нет х,z)плоскость координатная zOх(стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = 10x ,

D:  x2 + y2 = 4 , у2 = 3х , у = 0 

 Точки пересечения линий

(2;0),(0;0),(1;)

 Построение рис. области D.

Выберем коридор  || Оx, его ширина 0 y ,

а движение по коридору от у2 = 3х до x2 + y2 = 4,

 D: 0 y , y2/3 x

V =  , J2 =  = 5 [ 4 – y2 – y4 /9 ],

V = 5[ 4 – y2 – y4 /9 ] dy = 5 [ 4y – y3/3 – y5/45 ] =  куб.ед.

Задачи для самостоятельного решения

Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

1) x + y + z = 8 , y = x , z = 0 , y = 3 ; 2) y = 6, y =  , z = 0 , x + z = 3.

3) y = 6, y =  , z = 0 , x + z = 3 ; 4) x2 + y2 = 8, x = , x = 0, z = 30y/11, z = 0.

5) x + y = 4, x = , z = 3x/5, z = 0 ; 6) x + y = 6, y = , z = 4y, z = 0.

Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Практикум по теме «Криволинейный интеграл» Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Вычисление интегралов Кривая L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . 

Скалярное произведение векторов. Критерий ортогональности векторов. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Векторное произведение векторов. Вычисление векторного произведения векторов че-рез их координаты. Геометрический смысл векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Вычисление смешанного произведения векторов через их координаты. Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компла-нарности трёх векторов.
Математический анализ вычисление интеграла