Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Замена переменных в двойных интегралах Практикум по теме «Тройной интеграл»

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Матрицы. Матрицы частного вида. Линейные операции над матрицами и их свойства. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Определители. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения. Вычис-ление определителей. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице. Решение матричных уравнений.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Имеем плоскость с прямоугольной  системой координат хОу и систему непрерывных функций

u = u(x,y)

v = v(x,y) ( 6 )

Для каждой точке плоскости (xi,yi) получаем два числа (ui,vi) , которые можно понимать как координаты другой точки. Выделим в xOy область D , ограниченную замкнутым контуром D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (ui,vi). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром  D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и у

x = x(u,v)

 y = y(u,v) ( 7 )

и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.

Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения  ( 1 ) осуществляют преобразование области D в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.

Двойной интеграл.

 В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади  |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | =  ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv ( 9 )

В полярной системе координат переменные r , j имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.

   ( 10 )

Обратное преобразование : r =

j = arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J =  = r ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .

D – круг радиуса R  f(x,y) dxdy =  ( 12 )

D – круговой сектор f(x,y) dx dy = 

 

D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r(j ) , 

f(x,y) dx dy =  ( 13 )

D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1(j ) , r = r2(j ) ,

f(x,y) dx dy =  ( 14 )

Пр. 1  Вычислить площадь круга. S = dxdy =  = j  r2/2  = pR2

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Практикум по теме «Двойной интеграл»

Пример. Изменить порядок интегрирования J = 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy   r d dr.

Ранг матрицы. Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований. Тео-рема о базисном миноре. Критерий равенства нулю определителя. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Критерии совмест-ности и единственности решения. Матричный способ решения. Метод Крамера. Метод Гаусса решения произвольной системы линейных уравнений.
Математический анализ вычисление интеграла