Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Векторная алгебра. 1. Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). 2. Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение). 3. Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов.

РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

Ряды Фурье в комплексной форме

Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Для этого рассматривают вспомогательную функцию  периода , значения которой на интервале  совпадают со значениями функции   (рис. 6).

 


 y четное y 

   

 

 

 производная 

 -3 -2 -  2 3 x х

 

 нечетное 

 

 Рис. 6 Рис. 7

Если для функции  выполняется условие теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом Фурье. Этот ряд на интервале  во всех точках непрерывности функции будет иметь своей суммой .

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить по какому-либо закону фукнцию на интервал , а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом . Удобнее всего продолжить функцию на интервал  четным или нечетным образом (рис. 7). В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Во втором случае ряд Фурье будет содержать только синусы.

Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье непериодической функции.

1. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке  уравнением .

Решение. Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1  2 3 4 5 6 7 8 x

 Рис. 8

А. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом (рис. 8). 

Имеем .

;

  0

 .

Еще раз интегрируем по частям:

 0

.

Итак,

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  нечетным образом (рис. 9).

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1 2  3 4 5 6 x

 

 Рис. 9

 0

 0 

.

Итак, .

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, 1980.-175 с. 2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. - М. - Наука, 1975. - 239 с. 3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с. 4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, 1974. - 415 с.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия