Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Векторная алгебра. 1. Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). 2. Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение). 3. Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов.

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Рядом Фурье периодической функции  с периодом , определенной на сегменте , называется ряд

 , (1)

где

  (2)

 

  (3)

Если ряд (1) сходится, то его сумма  есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция  на сегменте  имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента  и сумма этого ряда   вычисляется:

1)  во всех точках неразрывности , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва 1-го рода функции ;

3)   на концах промежутка, т.е. при .

В случае, когда  - четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (4)

где

  (5)

В случае, когда  - нечетная функция, ее ряд содержит только синусы, т.е.

   (6)

где 

  (7)

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции периода, отличного от . В этом случае, если  - периодическая функция с периодом , для которой выполняются на сегменте  условия Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

  (8) где

  (9)

  (10)

В случае, когда  - четная функция, как (4) – (5), ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (11) где

 . (12)

В случае, когда - нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

  (13) где

  (14)

При разложении в ряд Фурье целесообразно придерживаться следующей схемы. Вначале проверяем, что данная функция удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты  и  по соответствующим формулам; подставляя их в ряд, получаем искомое разложение; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких   полученный ряд сходится к данной функции. Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье периодических функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, 1980.-175 с. 2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. - М. - Наука, 1975. - 239 с. 3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с. 4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, 1974. - 415 с.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия