Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Системы координат. Декартова прямоугольная система координат. Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы вектора, свойство направляющих коси-нусов. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Критерий кол-линеарности векторов. Задача о делении отрезка в заданном отношении.

Свойства умножения матриц

Пусть, размеры матриц  таковы, что произведения матриц имеют смысл..

1)  – ассоциативность умножения;

2)  – дистрибутивность умножения матриц относительно суммы матриц;

Определение 2.4.

Квадратная матрица  называется единичной матрицей.

Очевидно, что det Е=1.

2.4. Свойство единичной матрицы

, (2.2)

 (2.2’)

для матрицы  размера  (равенство (2.2))

или размера  (равенство (2.2’))

и единичной матрицы  размера .

Определение 2.5.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

.

Очевидно, что , .

2.5. Понятие обратной матрицы

Определение 2.6.

Квадратная матрица  называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство , где  – единичная матрица.

Определение 2.7.

Квадратная матрица  называется невырожденной, или неособенной, если . Если , то матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема 2.1.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой:

 (2.3)

Замечание 5.

В равенстве (2.3) матрица

 получена из матрицы  

заменой ее элементов на соответствующие алгебраические дополнения и последующим транспонированием. Такая матрица  называется присоединенной (союзной) матрицей для матрицы.

Таким образом,

.

Доказательство.

По определению 2.6 .

.

Но здесь  – есть разложение определителя  по его первому столбцу, потому является значением . Таковы же все элементы

главной диагонали. Так,  – есть разложение определителя по -тому столбцу. Значит, все элементы главной диагонали равны .

Все элементы вне главной диагонали представляют собой суммы произведений элементов какого-либо столбца определителя  на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца и потому равны нулю.

Значит, .

Пример 2.3.

Для матрицы  найти обратную матрицу.

Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры линейных про-странств. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного про-странства. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Преобразование базиса. Преобразование координат вектора при преобразовании базиса. Линейные подпространства. Критерий подпространства
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия