Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Предлагаемый читателям курс лекций А.Е.Умнова "Аналитическая геометрия и ли-нейная алгебра" рекомендован кафедрой высшей математики Московского физико-технического института в качестве учебного пособия для студентов МФТИ. Эта книга также может быть использована в качестве учебного пособия и в других учебных заведениях с расширенной подготовкой по высшей математике.

Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Пример 22.4.

Вычислить производную функции  в точке .

, .

22.5. Производная степенно показательной функции (логарифмическая производная)

Алгоритм вычисления производной

Пусть задана функция .

1) прологарифмируем функцию:

2) продифференцируем функцию:

3) выразим из полученного уравнения :

 (22.3)

Пример 22.5.

С помощью логарифмического дифференцирования найти производную функции: .

(Ответ: ).

Замечание 2.

С помощью логарифмической производной можно находить производную сложной функции, которую можно дифференцировать.

Пример 22.6.

Вычислить производную функции .

.

22.6. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть .

Если функция  монотонна и непрерывна, то

 (22.4)

Пусть функции  дифференцируемы и .

 (22.5)

Пример 22.7.

Вычислить производную функции, заданной параметрически:

 (уравнение эллипса).

.

22.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 22.1.

Второй производной (или производной второго порядка) функции называется производная от ее первой производной.

Обозначение:  (22.6)

Механический смысл.

Функция  равна ускорению движущейся точки в момент времени .

Аналогично определяются 3-я, 4-я и т.д. производные:

 (22.7)

а). Если - независимая переменная, то , т.к.  не зависит от

Определение 22.2.

Вторым дифференциалом от функции называется дифференциал от первого дифференциала:

 (22.8)

Тогда  (22.9)

– формула n-го дифференциала функции .

б). Если , то есть , тогда, поскольку , то

Здесь  (**).

Замечание 2. если .

Таким образом, свойство инвариантности не выполняется.

Производная сложной функции

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Раскрытие неопределенностей

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций

1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Элементы линейной алгебра и аналитической геометрии. 2. Беклемишев Д.В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1971. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1971. 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974. 5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1974. 6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1974. 7. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебра и анали-тической геометрии.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия