Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Предлагаемый читателям курс лекций А.Е.Умнова "Аналитическая геометрия и ли-нейная алгебра" рекомендован кафедрой высшей математики Московского физико-технического института в качестве учебного пособия для студентов МФТИ. Эта книга также может быть использована в качестве учебного пособия и в других учебных заведениях с расширенной подготовкой по высшей математике.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 19.3

 – бесконечно малая функция, если .

Свойства бесконечно малых функций

.

. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при  является бесконечно малой функцией при .

. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Определение 19.4

 – бесконечно большая функция при , если:

.

Замечание 1. Бесконечно большая функция не имеет предела при , но условно говорят:.

Пример 19.2.

. Доказать, что  – бесконечно большая функция.

Замечание 2. Выражения вида  называются неопределенностью.

19.5 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Рассмотрим функции  и , заданные в проколотой окрестности точки ().

Определение 19.5.

Если , то говорят, что эквивалентна  при  .

Определение 19.6.

Если и  – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при   и ,то говорят, что они бесконечно малые (бесконечно большие) функции одного порядка.

Определение 19.7

Если f(x) и g(x) – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при   и , то говорят, что – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем .

( бесконечно большая функция менее высокого порядка, чем ).

Замечание 3. В случае бесконечно малых функций часто используют символ «о»: .

В примере 19.1.

Теорема 19.6. (замена функций эквивалентными при вычислении пределов)

Пусть  при  и  определена в проколотой окрестности точки а(). Тогда, если существует  и существует , то существуют , и они равны предыдущим.

Доказательство

1). Пусть существует , тогда

.

2) .

Пример 19.3.

Вычислить .

1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Элементы линейной алгебра и аналитической геометрии. 2. Беклемишев Д.В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1971. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1971. 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974. 5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1974. 6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1974. 7. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебра и анали-тической геометрии.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия