Аналитическая геометрия
ТЕМА: Прямая на плоскости
Определение 10.3.
Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение
(неявный вид), которому удовлетворяют координаты
любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Замечание 3.
Уравнение
называется алгебраическим, если
, где
, причем
- порядок уравнения.
Примеры 10.2.
а)
- алгебраическое уравнение 1-го порядка.
б)
- алгебраическое уравнение 2-го порядка.
в)
- не является алгебраическим уравнением.
Самым простым уравнением 1-й степени является уравнение прямой на плоскости.
10 10 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Постановка задачи.
Дано:
,
.
Найти: уравнение прямой
, проходящей через точку
и
. (см. рис.)
Назовем
- нормальный вектор.
А) Выберем на
произвольную точку
. Найдем координаты
. Т.к.
, то
![]()
(10.3)
- уравнение
, отвечающее всем требованиям определения (10.3).
Б) Пусть
, тогда
, т.е.
и условие определения (1) не выполняются.
Следовательно, уравнение (10.3) – уравнение прямой по точке и нормальному вектору.
20 Общее уравнение прямой
Из уравнения (10.3) с помощью элементарных преобразований получим:
,
(10.4)
- общее уравнение прямой.
Частные случаи уравнения (10.4):
1)
, 2)
, 3)
4)
, 5)
30 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть
,
, причем если
, то
;
, то
;
, то
;
при
.
Разрешим общее уравнение прямой (10.4) относительно
:
![]()
![]()
. Пусть
, тогда
(10.5)
,
где
- угловой коэффициент прямой,
- отрезок, который отсекает данная прямая на оси
.
Замечание 4. Если
, то
- прямая проходит через начало координат; если
, то
- семейство прямых, параллельных оси
.
40 Векторное, параметрическое и канонические уравнения прямой
Определение 10. 2
Всякий ненулевой вектор
параллельный прямой
называется направляющим вектором этой прямой. (
).
Пусть точка
, тогда произвольная точка
лишь при условии, когда вектор
коллинеарен
. Это означает, что:
(10.6)
- векторное уравнение прямой.
С другой стороны, всякая точка
, для которой выполняется уравнение (10.6) принадлежит
в силу определения произведения вектора на число. Таким образом, точка
, тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.6).
Если обозначить радиус-вектора точек
,
через
и
, соответственно, то
, тогда:
(10.6’)
.
Если
,
,
, то (10.6) в координатах запишется:
(10.7)
- параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через точку
в направлении
.
Исключая из уравнений (10.7) параметр
, получаем:
(10.8)
- каноническое уравнение прямой.
Уравнение (10.8) необходимо воспринимать как пропорцию: если
, то это прямая, параллельная оси
, проходящая через точку
.
Замечание 5.
Приведем уравнение (10.8) к общему знаменателю:
![]()
![]()
- общее уравнение прямой.
В задачах
часто обозначают
.
Если
- нормальный вектор, то
- направляющий вектор.
Вместе с каноническим уравнением (10.6) используется уравнение прямой, проходящей через две точки: если
,
, то
.
Можно в качестве направляющего вектора принять
, тогда:
(10.9)
- уравнение прямой, проходящей через две точки
и
.
Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов
и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида:
, т.е. вначале вектора
и
перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор
.
Преобразование прямоугольных координат на плоскости
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола; их геометриче-ские свойства, уравнения и построение.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. По-строение кривых.
Поверхности второго порядка, их канонические уравнения. Исследование геометриче-ского вида поверхностей второго порядка методом параллельных сечений. Построение по-верхностей второго порядка.
Источники питания электронных устройств
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия |