Аналитическая геометрия
ТЕМА: Прямая на плоскости
Определение 10.3.
Уравнением
линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое
уравнение 
(неявный вид), которому удовлетворяют координаты 
любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты
ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Замечание 3.
Уравнение
называется алгебраическим, если
, где 
, причем 
- порядок уравнения.
Примеры 10.2.
а) 
- алгебраическое уравнение 1-го порядка.
б) 
- алгебраическое уравнение 2-го порядка.
в) 
- не является алгебраическим уравнением.
Самым простым уравнением 1-й степени является уравнение прямой на плоскости.
10 10 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Постановка задачи.
Дано: 
, 
.
Найти: уравнение прямой 
, проходящей через точку 
и 
. (см. рис.)
Назовем 
- нормальный вектор.
А) Выберем на произвольную точку 
. Найдем координаты 
. Т.к. 
, то 
| (10.3) |
|
- уравнение , отвечающее всем требованиям определения (10.3).
Б)
Пусть 
, тогда 
, т.е. 
и условие определения (1) не выполняются.
Следовательно, уравнение (10.3) – уравнение прямой по точке и нормальному вектору.
20 Общее уравнение прямой
Из уравнения (10.3) с помощью элементарных преобразований
получим: 
,
| (10.4) |
|
- общее уравнение прямой.
Частные случаи уравнения (10.4):
1) 
, 2) 
, 3) 
4) 
, 5) 
30 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть 
, 
, причем если
, то 
;
, то 
;
, то 
;
при 
.
Разрешим общее уравнение прямой (10.4) относительно
: 
. Пусть 
, тогда
| (10.5) |
|
,где 
- угловой коэффициент прямой, 
- отрезок, который отсекает данная
прямая на оси 
.
Замечание 4. Если 
, то 
- прямая проходит через начало координат; если , то 
- семейство прямых, параллельных оси 
.
40 Векторное, параметрическое и канонические уравнения прямой
Определение 10. 2
Всякий ненулевой вектор 
параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой.
(
).
Пусть точка 
, тогда произвольная точка 
лишь при условии, когда вектор 
коллинеарен 
. Это означает, что:
| (10.6) |
|
- векторное уравнение прямой.
С
другой стороны, всякая точка 
, для которой выполняется уравнение (10.6) принадлежит
в силу определения произведения вектора на число. Таким
образом, точка 
, тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.6).
Если
обозначить радиус-вектора точек , через 
и 
, соответственно, то 
, тогда:
| (10.6’) |
|
.Если 
, 
, 
, то (10.6) в координатах запишется:
|
(10.7) |
|
- параметрические уравнения
прямой на плоскости, проходящей через точку 
в направлении .
Исключая
из уравнений (10.7) параметр 
, получаем:
|
(10.8) |
|
- каноническое уравнение прямой.
Уравнение
(10.8) необходимо воспринимать как пропорцию: если ,
то это прямая, параллельная оси , проходящая через точку 
.
Замечание 5.
Приведем уравнение (10.8) к общему знаменателю:
- общее уравнение прямой.
В задачах часто обозначают 
.
Если 
- нормальный вектор, то 
- направляющий вектор.
Вместе
с каноническим уравнением (10.6) используется уравнение прямой, проходящей через
две точки: если 
, 
, то 
.
Можно в качестве направляющего вектора принять
, тогда:
|
(10.9) |
|
- уравнение прямой, проходящей
через две точки и .
Скалярное
произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов
и 
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними
Смешанное
произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение
следующего вида: 
, т.е. вначале вектора 
и 
перемножаются векторно, а затем
результат умножается скалярно на вектор 
.
Преобразование прямоугольных координат на плоскости