Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Понятие линий и поверхностей. Прямая на плоскости. Различные формы записи урав-нений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Различные формы записи уравнений плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Прямая в пространстве. Приведение общего уравнения прямой в пространстве к кано-ническому виду. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Лекция 10

Смешанное произведение векторов

Определение 10.1

Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 10.1.

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, взятому со знаком « +», если тройка  правая, и «–» , если левая.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах , лежащий в основании указанного параллелепипеда. Его площадь  выражается формулой (9.5).

.

Пусть -неколлинеарны  параллелепипеда, построенного на векторах .

Очевидно, что знак  совпадает со знаком , а он больше нуля, когда тройка правая, и меньше нуля, когда тройка левая, что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Векторы  компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. . (10.1)

Доказательство.

Действительно, если векторы компланарны, то , равенство (10.1) выполняется.

Обратное также верно. Допустим, что векторы – некомпланарны, построим на них параллелепипед, тогда по теореме 10.1 , что противоречит условию.

Следствие 2.

Справедливо равенство:

Доказательство.

Скалярное произведение не зависит от порядка множителей, следовательно . По теореме 10.1 , =, поскольку речь идет об одном и том же параллелепипеде  и – тройки одной ориентации, поэтому в двух последних равенствах нужно брать один и тот же знак, следовательно, =.

Принимая во внимание эти равенства, смешанное произведение  и  обозначают .

 

Таким образом, .

Замечание 1. Из свойства линейности скалярного произведения следует: .

Теорема 10.2.

Пусть , , , тогда

. (10.2)

Доказательство.

, что является разложением определителя (10.2) по третьей строке.

Замечание 2. Следствие 1 теоремы 10.1 теперь можно сформулировать следующим образом:

= – необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пример 10.1.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах   .

По формуле (10.2) получаем: .

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола; их геометриче-ские свойства, уравнения и построение. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. По-строение кривых. Поверхности второго порядка, их канонические уравнения. Исследование геометриче-ского вида поверхностей второго порядка методом параллельных сечений. Построение по-верхностей второго порядка.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия