Элементы линейной алгебры Система линейных уравнений Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление Производная функции Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Системы координат. Декартова прямоугольная система координат. Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы вектора, свойство направляющих коси-нусов. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Критерий кол-линеарности векторов. Задача о делении отрезка в заданном отношении.

Элементы линейной алгебры

Матрицы и определители. Основные понятия

Определение 1.1.

Прямоугольная таблица чисел, состоящая из  строк и  столбцов называется матрицей порядка .

Числа  () называются элементами матрицы (здесь первый индекс – номер строки а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент).

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Схема исследования функций Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать

Определение 2.1.

Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .

Замечание 1. В определении 1.2 матрица  имеет размер (n х m).

Определение 1.3

Матрица размера  называется квадратной матрицей  порядка

.

Замечание 2. Диагональ  называется главной диагональю квадратной матрицы, а диагональ  – побочной диагональю.

Примеры 1.1.

а)  (размер _1_х_4_) – однострочная матрица или

матрица-строка;

б)  (размер _3_х_1_) – столбцовая матрица или

матрица-столбец;

в) С=(-2) (размер _1_х_1_).

Пример 1.2.

.

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.

Определение 1.4.

Определителем матрицы  первого порядка, называется сам элемент :

 .

Определение 1.5.

Определителем матрицы  второго порядка, называется число . (1.1)

Определение 1.6.

Определителем матрицы  третьего порядка, называется число

. (1.2)

Равенство (1.2) вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

а (+) б (–)

Замечание 3. Для определителя матрицы A употребляют также следующие обозначения:

, , .

Примеры 1.3.

Вычислить определители:

1) ;

2);

3) ;

4) .

Определение 1.7.

Минором элемента  квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы ()-го порядка, остающийся после вычеркивания -й строки и -го столбца данной матрицы -го порядка (то есть строки и столбца на пересечении которых стоит элемент ).

Обозначение: .

(Минор – это число или матрица?)

Определение 1.8.

Алгебраическим дополнением элемента . называется его минор, взятый со знаком , где  – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

. (1.3).

Пусть задана матрица A размером 4х4:

,тогда ,

Заметим, что , если  - четное число,

, если - нечетное.

Учитывая это, для правильной расстановки знаков перед минорами в алгебраических дополнениях удобна таблица:

Теорема 1.1 (разложения).

Определитель матрицы  порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

 (1.4)

– разложение по -й строке.

Доказательство.

Пусть, тогда  (1.5).

Докажем, что имеют место следующие равенства:

,  (1.6)

  (1.7)

  (1.8)

Чтобы доказать (1.6) достаточно записать правую часть формулы (1.5) в виде

.

Величины, стоящие в скобках являются алгебраическими дополнениями матрицы  порядка элементов , , , т.е.

.

Равенства (1.7) и (1.8) доказываются аналогично.

Свойства определителей Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

Действия с матрицами Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.

Свойства умножения матриц

Ранг матрицы Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных   строк, и  столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры линейных про-странств. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного про-странства. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Преобразование базиса. Преобразование координат вектора при преобразовании базиса. Линейные подпространства. Критерий подпространства
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия