Расчет токов коротких замыканий Анализ переходных процессов в цепи R, L, C Способы соединения четырехполюсников Синтез электрических цепей Графический метод расчета нелинейной цепи Нелинейные цепи переменного тока

Методы расчета электрических цепей

Порядок выполнения расчетов с помощью компьютера Предварительно, исходя из выбранного метода расчёта, необходимо составить систему независимых уравнений и подставить в неё численные значения заданных параметров. Затем составить квадратную матрицу коэффициентов aij и матрицу-столбец коэффициентов bi. С помощью компьютера осуществляется расчёт системы линейных алгебраических уравнений и определение неизвестных величин, в качестве которых могут быть либо непосредственно токи в ветвях заданной схемы (если используются законы Кирхгофа), либо контурные токи (если используется метод контурных токов), либо потенциалы узлов (если используется метод узловых потенциалов).

Операторный метод расчета переходных процессов

Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается переходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или операторным.

Сущность операторного метода состоит в том, что на 1-ом этапе действительные функции времени i(t), u(t), называемые оригиналами, заменяются некоторыми новыми функциями I(p),U(p), называемыми операторными изображениями. Соответствие между оригиналом функции f(t) и ее операторным изображением F(p) устанавливается на основе прямого преобразования интеграла Лапласа:

  или ,

где Ûзнак соответствия; p=+j - комплексный оператор Лапласа.

Если s = , то p= j, и преобразование Лапласа превращается в преобразование Фурье, которое лежит в основе комплексного метода расчета цепей переменного тока.

Преобразование Лапласа позволяет заменить операции 2-го рода над оригиналами функций (дифференцирование и интегрирование) на операции 1-го рода (умножение и деление) над операторными изображениями этих функций.

Расчет переходных процессов операторным методом условно выполняется в 3 этапа.

На 1-м этапе расчета система дифференциальных уравнений, составленная по законам Кирхгофа для оригиналов функций, после применения преобразования Лапласа превращается в систему алгебраических уравнений для операторных изображений этих функций.

На 2-ом этапе выполняется решение системы алгебраических операторных уравнений относительно искомой функции, в результате чего получают выражение искомой функции в операторной форме F(p).

На заключительном 3-м этапе выполняется обратный переход от найденного операторного решения для искомой функции F(p) к соответствующей ей функции времени f(t), т. е. Выполняется переход от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t).

Теоретически обратный переход от операторного изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t) устанавливается на основе обратного преобразования Лапласа:

.

На практике для обратного перехода используются более простые и удобные методы, а именно: формула разложения и таблицы соответствия.

Операторные изображения некоторых функций времени

 Найдем операторные изображения некоторых функций времени, которые встречаются в электротехнике.

Изображение постоянной функции f(t)=А:

.

2) Изображения экспоненциальных функций:

;

3) Изображения гармонических функций:

,

,

.

Изображения 1-ой и 2-ой производной от функции времени:

.

Изображение определенного интеграла от функции:

.

Для удобства пользования сведем полученные результаты в общую таблицу, которая называется таблицей соответствия.


Таблица соответствия

11. Законы электротехники в операторной форме

 Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравнений: uR(t) = iR – для резистора;  - для катушки индуктивности;  - для конденсатора.

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения:   - для резистора;  - для катушки индуктивности;  - для конденсатора.

 Таким образом, идеальным элементам R, L, C электрической схемы будут соответствовать новые схемные представления этих элементов в операторной схеме (см. табл.).

Здесь R, pL, 1/pC – операторные сопротивления соответственно резистора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p) любого участка схемы можно получить из его комплексного сопротивления Z(jw), заменив в выражении множитель jw на оператор p.

Li(0), uC(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. Направления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника L i(0) и навстречу напряжению uC(0) для источника uC(0)/p.

Электричес-кая схема

Дифференциаль-ные уравнения

Операторные уравнения

Операторная схема

 u

 

 I(p) U(p)

 u

U(p)

 u

U(p)

C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i(t), u(t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I(p) ,U(p). Например, электрической схеме рис. 134 соответствует операторная схема, представленная на рис. 135.

Для электрической схемы рис. 134 справедливо дифференциальное уравнение, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

.


Для операторной схемы рис. 135 справедливо аналогичное уравнение, но в операторной форме:

, откуда следует:

,

где  – операторное сопротивление всей схемы,  - сумма всех источников ЭДС контура, в том числе и внутренних.

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линейных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для сложных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому методу для электрических схем.

Определение постоянных интегрирования Определение постоянных интегрирования производится на заключительном этапе расчета переходного процесса, когда остальные составляющие решения уже найдены. Постоянные интегрирования определяются путем подстановки в решение для искомой функции соответствующих начальных условий.

Способы составления системы операторных уравнений При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений. Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.

Переход  от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t). Формула разложения В результате  совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой  функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображение F(p). Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времени f(t),  является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета. На практике для  этой цели применяются два способа.

Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом

«Теоретические основы электротехники» как общепрофессиональная дисциплина дает фундаментальные знания для специальных дисциплин при подготовке специалистов электротехнического профиля. Значение этого курса особенно велико на современном этапе развития технических средств электрификации, управления и автоматизации производственных процессов и комплексов. Учебная дисциплина тесно связана и базируется на знаниях, приобретённых студентами при изучении курсов «Физика», «Высшая математика», «Информатика». В курсе «Теоретические основы электротехники» математическое описание электромагнитных процессов, рассмотренных в курсе физики, расширяются и развиваются в направлении разработки методов анализа, расчета и экспериментального исследования явлений и процессов, протекающих в электрических и магнитных цепях, электрических и магнитных полях электротехнических и электронных устройств.
Графический метод расчета нелинейной цепи с несколькими источниками ЭДС