Вычисление производной и интеграла Вычислить криволинейный интеграл Вычисление длины дуги кривой Тройной интеграл Объём цилиндрического тела Поверхностный интеграл первого рода Вычисление функций Функции комплексной переменной

Математика вычисление функций и интегралов

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать четность и периодичность функции. 3. Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты. 4. Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно). 5. Найти точки пересечения графика с осями координат. 6. Найти . Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции. 7. Найти . Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости. 8. Построить график функции.

Поверхностный интеграл первого рода

Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Производя относительно поверхности S и функции f(x,y,z) действия, подобные действиям при составлении суммы (1), составим сумму

где  п - число частей, на которые разделена поверхность S; произвольная точка, взятая в i -ой части; ΔSi - площадь i -ой части.

Поверхностный интеграл первого рода от функции f(x, у, z) по поверхности S определяется как предел

Поверхностный интеграл 1 -го рода обладает такими же свойствами, как и другие, рассмотренные интегралы. Интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования.

Чтобы вычислить поверхностный интеграл первого рода, его нужно преобразовать в двойной интеграл с использованием уравнения поверхности S.

Так, если поверхность S задана уравнением z= F(х,у), то дифференциал площади определяется по формуле

Поверхностный интеграл по S равен двойному интегралу по области Dxy, которая является проекцией поверхности S на координатную плоскость хОу:

С помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислить:

1) площадь поверхности S

2) массу материальной поверхности с распределённой плотностью

3) координаты центра масс, моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным (6) и (7).

Пример 3.

 Вычислить массу поверхности S с распределённой плотностью

μ = 4- z. Поверхность задана уравнениями

Рис.9- к примеру 3

РЕШЕНИЕ Поверхность S - часть цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ох (см. рисунок 22), она однозначно проектируется на плоскость хОу в прямоугольную область

Поверхность задана уравнением, которое запишем в виде

и определим дифференциал площади

ТЕОРЕМА. Если

функция ,  – дифференцируемая в точке , , т.е. , причем ;

функция ,  – дифференцируемая в точке , , т.е. , причем ;

функция , , где

  – дифференцируемая в точке , где , ,
т.е. , где , причем ,

то сложная функция  дифференцируема
в точке .

Доказательство. Пусть , . Тогда
последовательно имеем

, где , , т.е. ;

аналогично .

Используя условие теоремы, можно записать

, поскольку

.

Здесь  в силу дифференцируемости функций ,  и  по условиям теоремы.

Заметим, что число

  –

производная рассматриваемой сложной функции  в точке .

ПРИМЕР 3. Провести полное исследование и построить график функции . 1) Область определения функции . 2) Область определения функции не симметрична относительно начала координат. Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси или начала координат.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями