Вычисление производной и интеграла Вычислить криволинейный интеграл Вычисление длины дуги кривой Тройной интеграл Объём цилиндрического тела Поверхностный интеграл первого рода Вычисление функций Функции комплексной переменной

Математика вычисление производной и интеграла

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций - дело значительно более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Есть такие методы интегрирования 1 Непосредственное интегрирование 2 Подведение под знак дифференциала 3 Метод замены переменной (метод подстановки) 5 Интегрирование по частям 6 Интегрирование рациональных дробей

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом:

Пример 12

Найти момент инерции по оси z площади поверхности, которая лежит ниже параболоида , внутри цилиндра , над плоскостью Оxy и имеет формулу распределения плотности .

Решение

По формуле момента инерции получим:

Уравнение области внутри цилиндра переведем в цилиндрические координаты. Получаем:

Биномиальным дифференциалом называется выражение вида

,

где  и  – любые постоянные, а показатели степеней ,  и  – некоторые рациональные числа.

П.Л. Чебышев доказал, что биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях только в следующих трех случаях:

1)   – целое число; интеграл  рационализируется подстановкой , где  – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел  и ;

2)   – целое число; интеграл  рационализируется подстановкой , где  – знаменатель рационального числа ;

3)   – целое число; интеграл  рационализируется
подстановкой .

Эта теорема, отмечая случаи рационализации интеграла ,
устанавливает, что не существует никаких других случаев, в которых этот интеграл является элементарной функцией.

Практическое применение теоремы показывает следующий пример.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями