Вычисление производной и интеграла Вычислить криволинейный интеграл Вычисление длины дуги кривой Тройной интеграл Объём цилиндрического тела Поверхностный интеграл первого рода Вычисление функций Функции комплексной переменной

Математика вычисление производной и интеграла

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций - дело значительно более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Есть такие методы интегрирования 1 Непосредственное интегрирование 2 Подведение под знак дифференциала 3 Метод замены переменной (метод подстановки) 5 Интегрирование по частям 6 Интегрирование рациональных дробей

Вычисление длины дуги кривой.

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

Построим график и найдем точки пересечения с осями координат:

Длина дуги вычисляется по формуле .

Для данной задачи .

Подставляя все эти значения в формулу, получаем :

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Пример 16. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем поолучившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].

Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).

При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:

FKE: 

KACE: 

ACB: .

Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:

  +  +

ТЕОРЕМА 3. Неопределенный интеграл от произвольной дробно-рациональной функции всегда выражается через конечное число элементарных функций, а поэтому является элементарной функцией.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ "РАЦИОНАЛИЗАЦИИ" ПОДЫНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Многочлен ""-й степени переменных  и  имеет вид

.

Дробно-рациональной функцией переменных  и  называется
отношение двух многочленов этих переменных .

Рассмотрим некоторые виды интегралов, подынтегральное
выражение которых содержит дробно-рациональную функцию от
некоторых функций.

Если такой интеграл может быть сведен к интегралу от рациональной дроби одного независимого аргумента, то говорят, что исходный интеграл рационализируется, а значит может быть вычислен и выражен через элементарные функции исходного аргумента.

Рассмотрим несколько конкретных типов интегралов с указанными свойствами.

Интеграл  рационализируется подстановкой

,

В самом деле  – интеграл от дробно-рациональной функции , и далее его вычисление проводится по рассмотренному алгоритму.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями