Вычисление производной и интеграла Вычислить криволинейный интеграл Вычисление длины дуги кривой Тройной интеграл Объём цилиндрического тела Поверхностный интеграл первого рода Вычисление функций Функции комплексной переменной

Математика решение задач на вычисление матрицы

Матрица называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы. Очевидно, что матрица коэффициентов квадратной системы является квадратной матрицей. Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n+1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе (2) соответствует расширенная матрица

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

  (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

Пусть  и  – действительные матрицы одного порядка, тогда

  (1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов  и  объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер  при некоторых натуральных значениях  и  и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых  и  из

  ◄ Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых  и  из

3) Среди всех матриц множества  существует единственная матрица , обладающая свойством

  (1.4)

для любой матрицы  из .

 ◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы  из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица  из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых  из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица   такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

  и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►

Матрица  называется нуль-матрицей, а свойство 3) – свойством существования и единственности нуль-матрицы.

4) Для любой матрицы  существует единственная матрица  такая, что

  (1.5)

 ◄ Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

  (1.6)

Тогда

.

В то же время,

. ►

Матрица  называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

 

Умножение матрицы на число

Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

.

Иначе говоря, умножение матрицы на число осуществляется поэлементно:

.

Отметим основные свойства введённой операции:

  ◄Действительно,

.  ►

 Заметим также, что противоположная матрица .

Формула Гаусса – Остроградского связывает поток вектора через замкнутую поверхность S, ориентируемую вектором нормали , направленный наружу по отношению к объему V, заключенному внутри поверхности S, с тройным интегралом по объему V от . Если вектор является вектором скорости жидкости, протекающей через объем V, то интеграл дает количество жидкости, вытекающей из объема V через поверхность S в единицу времени. Если жидкость втекает в объем V, то тройной интеграл получается отрицательным, т.к. <0.

Если =0 во всех точках объема V, то поток вектора равен 0. Это означает, что количество втекающей жидкости и вытекающей из объема V одинаковое.

Пример. Определить поток вектора  через внешнюю сторону сферы .

Найдем ;

Следовательно:

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: 1) первую строку оставим без изменения; 2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой; 3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой; 4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой; 5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой. В результате преобразований получим матрицу
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями