Математика решение задач на вычисление матрицы Матричные уравнения Решение задач на вычисление пределов Предел последовательности Производная функции Интегрирование тригонометрических выражений

Математика вычисление производной и интеграла

Сформулировать св-ва определённого интеграла. Доказать свойство аддитивности определённого интеграла. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (случай действительных различных корней).

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где  - отрезок прямой, , .

б) , где  - ломаная, , , .

в) , где  - дуга окружности , .

г) , где  - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Следовательно,

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке  , значит , . Поэтому .

На отрезке  , , . Поэтому

.

Искомый интеграл  равен .

в) Положим , тогда , . Следовательно,

=.

г) Зададим линию  параметрическими уравнениями: , , , .

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Поэтому =.

Теорема (о среднем значении тройного интеграла)

Если функция  непрерывна в замкнутой области DR3, то внутри области D найдется хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство:

где – объем тела D.

4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

Для вычисления тройного интеграла от функции  по области DR3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту проекцию  Пусть область D будет такой, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси 0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух точках. Пусть  и – уравнения поверхностей, ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис.1). Тогда можно записать:

Если область G окажется правильной

в направлении, например, оси 0Y, т.е.

  , то

 Рис.1

Сформулировать свойства определённого интеграла. Доказать теорему об оценке модуля определённого интеграла. Доказать теорему о структуре общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки сравнения для таких интегралов.
Вычислить интегралы от функции комплексного переменного