Вычисление производной и интеграла Вычислить криволинейный интеграл Вычисление длины дуги кривой Тройной интеграл Объём цилиндрического тела Поверхностный интеграл первого рода Вычисление функций Функции комплексной переменной

Математика вычисление производной и интеграла

Формула трапеций. Если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной, то получим более точное значение определённого интеграла. метод Симпсона ( англ. математик 1710-1761). Этот метод приближенного вычисления определённого интеграла основан на замене графика подынтегральной функции дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу. Значительный вклад в теорию приближённых вычислений интегралов внесли русский академик П.Л.Чебышев, советский академик математик и кораблестроитель А.Н.Крылов.

Различные определения непрерывности функции в точке

Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.

Пусть . Тогда эквивалентны следующие определения непрерывности функции в точке.

Через пределы: ( – непрерывна в точке )

  .

Определение по Коши (на языке ):

( – непрерывна в точке )

.

Определение через приращения.

Обозначим  – приращение аргумента,  – приращение функции в точке  соответствующее . Тогда

( – непрерывна в точке ).

Определение по Гейне (через последовательности).

( – непрерывна в точке )

.

Через односторонние пределы:

( – непрерывна в точке )

.

2.4.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция   принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Например, функция  непрерывна на множестве , но не является непрерывной на , поскольку в точке  она не задана.

Если функцию доопределить при , то  – точка разрыва второго рода.

Выделим свойства функций, непрерывных на отрезках
(на сегментах).

ТЕОРЕМА 1 ВЕЙЕРШТРАССА

Всякая функция, непрерывная на сегменте, ограничена на нем, т.е. , ; .

Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирую-щей содержание теоремы.

Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствую-щий пример – контрпример.

Контрпример.  

Множество  – ограниченное, но функция не является непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы

1. Если   не является непрерывной на , то множество значений ее может быть неограниченным (заключение теоремы не имеет места).

ПРИМЕР.  на   имеет точку разрыва второго рода ; множество  – неограниченное.

2. Если  непрерывна на множестве , но  – не является
сегментом, то множество значений функции на  может оказаться неограниченным.

ПРИМЕР. .

Доказательство теоремы проведем методом от противного.

Пусть   – неограниченное множество, т.е. .

Последовательность  – ограниченная и из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. .

Тогда в силу предположения для всякого   и
при   .

Но по условию теоремы  непрерывна в точке , , и  – конечное число.

Полученное противоречие доказывает теорему.

ТЕОРЕМА 2 ВЕЙЕРШТРАССА

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на сегменте, достигаются в некоторых точках этого сегмента, т.е. .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР

Контрпример.

Здесь

,

 ,

но , т.е.   не является функцией, непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы рекомендуем построить самостоятельно.

Доказательство. По теореме 1 множество  – ограниченное, поэтому имеет грани. Пусть

.

Пусть , . Тогда выделяется последовательность значений аргументов  на , для которой  при любом .

Из ограниченной последовательности  выделяем сходящуюся подпоследовательность , т.е. .

Поскольку для каждого   и  
при , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем .

Аналогично доказывается , .

Теорема устанавливает ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ существования абсолютного (глобального) экстремума на   для непрерывной функции , .

ЛЕММА (о нуле непрерывной функции)

Если 1) ; 2) , то .

Доказательство. Для определенности пусть  и .

Рассмотрим точку . Если

, то  и доказательство закончено, так как . Если , то число  имеет определенный знак, пусть . Выберем тот "половинный" сегмент, на концах которого функция имеет значения противоположного знака. В нашем случае (см. рисунок) это сегмент , для него имеем , .

Рассмотрим . Если , то .

Если ,  то выберем сегмент  так, чтобы

,  и длина  была равна половине длины предыдущего сегмента, т.е. .

Процесс продолжим либо до тех пор, пока  не обратится в ноль, либо при .

Получим последовательность сегментов , вложенных и стягивающихся по длине к нулю, для которых (у нас)  и . По принципу Кантора,  . Воспользуемся теоремой о переходе к пределу
в неравенстве и непрерывностью  на , т.е., в частности,
в точке . Получим .

Замечание. Лемма определяет ДОСТАТОЧНОЕ условие существования корня уравнения . Если установлено заранее, что на   корень единственный, то изложенная в доказательстве процедура построения последовательности сегментов , содержащих корень , составляет суть приближенного метода "половинного деления" решения нелинейного уравнения.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример и примеры на существенность условий леммы
рекомендуем привести самостоятельно.

Часто приходится слышать, что наступила эпоха ЭВМ, а "ручные" расчёты являются архаизмом. На самом деле это далеко не так. Прежде чем поручить ЭВМ большую задачу, надо сделать много оценочных расчётов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи. Поэтому современный инженер для успешной работы должен одинаково хорошо владеть и "классическими" методами и численными.
Функция нескольких переменных и ее частные производные