Вычисление производной и интеграла Вычислить криволинейный интеграл Вычисление длины дуги кривой Тройной интеграл Объём цилиндрического тела Поверхностный интеграл первого рода Вычисление функций Функции комплексной переменной

Математика вычисление функций и интегралов

Криволинейные интегралы Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве. Теперь рассмотрим случай, когда областью интегрирования является кривая, расположенная в плоскости. Затем все рассуждения можно перенести на случай кривой в пространстве. Рассмотрение криволинейных интегралов расширяет возможности приложений математического анализа и решения задач физики и техники (и в самой математике – в теории поля и в ТФКП). Существует два типа криволинейных интегралов. Начнем с рассмотрения криволинейного интеграла, который строится по аналогии с обыкновенным определенным интегралом.

Функции комплексной переменной

Определение и свойства функции комплексной переменной

 Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.

Если каждому числу  по некоторому правилу f поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество D в множество G. Обозначается: w = f (z).

Множество D называется областью определения ФКП.

Функцию w = f (z) можно представить в виде

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они – действительные функции от x, y.

Пример 1. . Здесь  = x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy.

Выделим действительную и мнимую части ФКП:

  u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y.

Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 – 3i:

.

Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:

.

Говорят, что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0, равный числу A = a + ib, если . Обозначается: .

Существование предела ФКП w = f (z) при  в означает существование двух пределов: .

  ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z0, если выполняется условие: .

 Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).

 

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:

,

где , и  произвольным образом.

Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z0 и некоторой ее окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z0.

 Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:

,  (10)

называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.

Теорема (о замене переменной в определенном интеграле)

Пусть функция  определена и непрерывна на ;
функция ,  удовлетворяет условиям:

1)  ; причем , ;

2)   ;

3)   на , т.е. функция  обратима на  – существует обратная функция , :  на ;  на .

Тогда

,

где  – какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Заметим, что если  на  при выполнении остальных условий и , , то пределы интегрирования по  следует поменять местами.

Доказательство. Рассмотрим интеграл  –
интеграл с переменным верхним пределом – сложная функция от

,

т.е. действительно функция  – первообразная для , поэтому

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным. Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается:
Функция нескольких переменных и ее частные производные